Одеваемся стильно 

Многогранники и их виды

Опорный план–конспект по теме:

«Введение в стереометрию» 10 класс

Основные понятия: точка, прямая, плоскость, многогранник, грань многогранника, противоположные грани, смежные грани, боковые грани, основания, ребро многогранника, вершина многогранника, противоположные вершины, диагональ, полная поверхность, площадь полной поверхности, выпуклый многогранник, невыпуклый многогранник

Инструменты для построения: линейка без делений, циркуль, чертёжный угольник.

Стереометрия (от греческого «стереос» - пространственный) – раздел геометрии, в котором изучаются свойства не только плоских, но и пространственных геометрических фигур.

Основные фигуры (простейшие фигуры) в стереометрии являются точки, прямые и плоскости.

Аксиомы (утверждения принимаемые без доказательства)

1. В пространстве имеется бесконечно много плоскостей, и на каждой из них выполняется планиметрия, т. е. справедливы аксиомы планиметрии и следствия из них.

2. Признаки равенства и подобия треугольников, изученные в планиметрии справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях .

Основные правила изображения фигур

    Отрезок изображается отрезком

    Середина отрезка изображается серединой его изображения

    Точка, делящая отрезок в отношении m : n изображается точкой, делящей его изображение в отношении m : n

    Параллельные прямые (отрезки) изображаются параллельными прямыми (отрезками). Параллельность сохраняется

    В качестве изображения любого треугольника можно принять произвольный треугольник

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежных из которых не лежат в одной плоскости. Многоугольники называются гранями , их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.

Полная поверхность - это фигура, образованная всеми гранями многогранника.

Площадь полной поверхности (S полн ) – сумма площадей всех граней.

Площадь боковой поверхности (S бок ) - сумма площадей боковых граней.

Основные понятия: куб, параллелепипед, прямой параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, призма, прямая призма, правильная n -угольная призма, пирамида, правильная пирамида, тетраэдр

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами ­(рис. 1).

Стороны квадратов называются ребрами куба.

Вершины квадратов называются вершинами куба.

Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм (рис. 2).

Противоположные грани – это грани, не имеющие общего ребра. Смежные грани – грани имеющие общее ребро. Противоположные вершины – это две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани.

Диагональ – это отрезок, соединяющий противоположные вершины (рис. 3).

Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые грани прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники (рис. 4).

Призма ( n -угольная) – это многогранник, у которого две грани равные n -угольники, а остальные n грани – параллелограммы (рис. 5).

Равные n -угольники называются основаниями , а параллелограммы – боковыми гранями.

Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани являются прямоугольниками (рис. 6).

Правильная n -угольная призма – это такая призма, у которой боковые грани прямоугольники, а ее основания правильные n -угольники.

Пирамида ( n -угольная) – это многогранник, у которого одна грань - какой-нибудь n -угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной (рис. 7).

Основание пирамиды называется n -угольник.

Боковые грани это треугольники, имеющие общую вершину.

Вершина пирамида – их общая вершина.

Ребра пирамида – это стороны граней пирамиды.

Боковые ребра пирамиды – это ребра, сходящиеся в вершине.

Правильная пирамида – это такая пирамида, основание которой правильный n -угольник, а все боковые ребра равны между собой.

Тетраэдр – это треугольная пирамида.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, если все ее грани – правильные треугольники.

Многогранники

Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из конечной количества плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из плоских многоугольников на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многоугольника называется гранью .
На рисунке ниже слева изображен неопуклий многогранник; на рисунке справа - выпуклый.

Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника , а вершины граней - вершинами многогранника .

Призма
Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (см. рисунок). Многоугольники называются основами призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, - боковыми ребрами призмы .

Обозначения: .
Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов. Каждый из них имеет две стороны, которые являются соответствующими сторонами основания, а две другие - смежными боковыми ребрами. Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра призмы параллельные и равны. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.
Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы . (На рисунке - высота, и - диагонали.)
Диагональные сечения - это сечения призмы плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (см. рисунки).

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям. В противном случае призма называется наклонной .
Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, высота прямой призмы равна боковому ребру, диагональные сечения являются прямоугольниками.
Боковой поверхностью призмы называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания и высоты, то есть длины бокового ребра.
Перпендикулярным сечением призмы будем называть сечение плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру призмы (а это означает, что эта плоскость является перпендикулярной всех боковых ребер призмы).
Теорема 2. Боковая поверхность наклонной призмы равен произведению длины бокового ребра и периметра перпендикулярного сечения.
На рисунке - перпендикулярное сечение.
S б = H ⋅ P осн;
S п = S б + 2S осн.
S б = l ⋅ P тэр;
S п = S б + 2S осн.

Очевидно, что эта теорема верна и в случае прямой призмы, ибо тогда перпендикулярное сечение будет сечением плоскостью, параллельной плоскостям оснований призмы.
Обратите внимание: если некоторый многоугольник является перпендикулярным сечением призмы, то его внутренние углы являются линейными углами двугранных углов между соответствующими боковыми гранями.
В случае прямой призмы линейными углами двугранных углов между боковыми гранями являются непосредственно углы основы.
Пример
На рисунке - прямая призма.

- линейный угол двугранного угла между гранями и .
Призма называется правильной , если:
в основе ее лежит правильный многоугольник;
призма является прямой.
Параллелепипед
Собой параллелепипед называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Все грани параллелепипеда - параллелограммы.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными .
Теорема 1. Противоположные грани параллелепипеда являются параллельными и равными.
Параллелепипед остается собой параллелепипед во всех случаях, когда за его основу считаем любую его грань (см. рисунок).
Теорема 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Из этого следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда есть его центром симметрии.
Обратите внимание: у прямого параллелепипеда четыре диагонали, попарно равны друг другу.
На рисунке ; .
Это следует из свойств наклонных, поскольку - уровне перпендикуляры к плоскости основания ABCD.

Если две диагонали прямого параллелепипеда выходящие из соседних вершин, то большая из них та, которая проектируется в большую диагональ основания, то есть такую диагональ параллелограмма, которая лежит против тупого угла. Итак, если на приведенном выше рисунке считать угол ABC тупой, получим , .
Прямой параллелепипед, в которого основой является прямоугольник, называется прямоугольным собой параллелепипед (см. рисунок).

Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники, которые можно разбить на три пары равных между собой. Произвольную грань прямоугольного параллелепипеда можно считать его основой. Учитывая, что при параллельном проектировании произвольный параллелограмм может изображаться произвольным параллелограммом, изображение прямоугольного параллелепипеда никак не отличается от изображения любого прямого параллелепипеда.
Длины непараллельных ребер называются линейными размерами (измерениями) прямоугольного параллелепипеда.
Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми.
Прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных между собой диагональных сечений. Каждый из этих сечений является прямоугольником (см. рисунки).

Каждая пара сечений пересекаются по прямой, которая проходит через точки пересечения диагоналей противоположных граней. Отрезки между этими точками являются параллельными и равны одному из ребер прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольным является треугольник, который образуется диагональю прямоугольного параллелепипеда, диагональю боковой грани и стороной основания (см. рисунок). Например, .

Прямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии - это точка пересечения его диагоналей.
Он также имеет три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .
Плоскость любого диагонального сечения куба является его плоскостью симметрии. Таким образом, куб имеет девять плоскостей симметрии.
На рисунке рассмотрим взаимное расположение некоторых элементов прямого параллелепипеда:

- угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания ( - перпендикуляр, - наклонная, СD - проекция).
- угол между диагональю прямого параллелепипеда и плоскостью основания ( - перпендикуляр, - наклонная, АС - проекция).
- угол наклона диагонали боковой грани (AD - перпендикуляр, - наклонная, - проекция).
Пусть - прямой параллелепипед (см. рисунок), где ABCD - ромб. Проведем его сечение плоскостью, проходящей через диагональ основания BD и вершину .

В сечении получим равнобедренный треугольник .
- линейный угол двугранного угла между плоскостями основания и сечения. по свойству диагоналей ромба, - перпендикуляр, - наклонная, СО - проекция. По теореме о трех перпендикуляры: .
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания - вершины пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами .
Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называетсяn -угольной , если ее основанием является n -угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром . Боковая грань пирамиды - треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противоположной стороной - сторона основания пирамиды.
На рисунке SO - высота пирамиды. Тогда - угол между боковым ребром и плоскостью основания (SO - перпендикуляр, ЅА - наклонная, ОА - проекция).

Из основания высоты пирамиды (точки А ) проведем перпендикуляр на сторону основания (например, АЕ ). Основание этого перпендикуляра (точку F ) соединим с вершиной пирамиды (точка S ). По теореме о трех перпендикуляры: . (SO - перпендикуляр, SP - наклонная, OF - проекция, по построению.) Следовательно, - линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ASE и плоскостью основания.
Для решения задач о пирамиде очень важно выяснять, где размещена основа ее высоты.
1. Если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
все боковые ребра пирамиды равны;
все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом;
все боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;
все боковые ребра равноудалены от основания высоты, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
Боковое ребро l , высота H и радиус R описанной вокруг основания окружности образуют прямоугольный треугольник:

В этом случае боковую поверхность можно найти по формуле , где l - длина бокового ребра, , ... - плоские углы при вершине.
2. Если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом;
все боковые грани имеют одинаковые высоты;
высоты боковых граней образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;
боковые грани равноудалены от основания высоты, - то основание высоты лежит в центре круга, вписанного в основание пирамиды.
На рисунке - прямоугольный , - радиус вписанной окружности в ABCDEF ;

- высота пирамиды, SP - высота боковой грани;
- линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания;
О - центр вписанной в основание окружности, то есть точка пересечения биссектрис ABCDEF .
В этом случае .
3. Если боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания, то это ребро является высотой пирамиды (см. рисунки).

В этом случае и - углы наклона боковых ребер ЅВ и ЅС соответственно к плоскости основания. является линейным углом двугранного угла между боковыми гранями SAC и SBA .
4. Если боковая грань перпендикулярна к плоскости основания (см. рисунок), то высотой пирамиды будет высота этой грани (по теореме «Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна к прямой их пересечения, то она перпендикулярна ко второй плоскости»).
5. Если две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то высотой пирамиды является их общее боковое ребро.
Расстояния от основания высоты пирамиды
Расстояние от основания высоты пирамиды до бокового ребра - перпендикуляр, опущенный из точки О на это ребро (см. рисунок). Обратите внимание: , но на рисунке не должен быть прямым: углы при параллельном проектировании не сохраняются.
OF - расстояние от основания высоты до бокового ребра SE ;
ON - расстояние от основания высоты до боковой грани ASB (о это расстояние подробнее смотри ниже).

, где - угол между ребром SE и плоскостью основания.
Расстояние от основания высоты до боковой грани
Пусть , тогда по теореме о трех перпендикуляры. Следовательно, AB перпендикулярна к плоскости SOK . Отсюда, если , то ON перпендикулярна к плоскости ASB .
.
Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Боковые ребра правильной пирамиды равны, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемою . Она является биссектрисой и медианой боковой грани, так и является равнобедренным треугольником.
Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению півпериметра основания на апофему.
; ,
где Р - периметр основания, а - сторона основания, l - длина апофеми.
Правильная треугольная пирамида
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник изображается произвольным треугольником (см. рисунок).

Центром является точка пересечения его биссектрис, которые одновременно являются высотами и медіанами. Медианы при параллельном проектировании изображаются медіанами. Поэтому строим две медианы основания. Точка их пересечения - основание высоты пирамиды. Изображаем высоту, а затем соединяем вершину пирамиды с вершинами основания. Получим боковые ребра.
На рисунке: - угол наклона бокового ребра к плоскости основания (одинаковый для всех ребер); - угол наклона боковой грани к плоскости основания (одинаковая для всех граней).
Пусть .
Тогда ; ; ;
; ; .
Следовательно, .
; .
Плоскость осевого сечения ASD является плоскостью симметрии правильной треугольной пирамиды.
Эта плоскость перпендикулярна к плоскости основания и плоскости грани BSC .
Интересно также отметить, что скрещивающиеся ребра пирамиды (SA и BC , SB и AC , SC и AB ) являются перпендикулярными. Если , то ON является расстоянием от основания высоты не только к анафеме, но и к боковой грани BSC .
.
Правильная четырехугольная пирамида
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, который изображается произвольным параллелограммом. Его центром является точка пересечения диагоналей. Эта точка - основание высоты пирамиды.
Пусть сторона квадрата а (см. рисунок).
Тогда ;
;
;
;
.

Обратите внимание: , , то есть .
При параллельном проектировании параллельность сохраняется.
; .
Расстояние от основания высоты до боковой грани:
; .

Правильная шестиугольная пирамида
В основе правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник (см. рисунок). Его центром является точка пересечения диагоналей. Эта точка - основание высоты пирамиды.
Тогда ;
Пусть сторона правильного шестиугольника а .
;
;

.
; .

Усеченная пирамида
Срезанной пирамидой называется многогранник, который останется, если от пирамиды отделить плоскостью, которая параллельна основе, пирамиду с той же вершиной.
Теорема. Плоскость, параллельная основании пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Обратите внимание: чтобы правильно изобразить срезанную пирамиду, надо начинать с изображения исходной полной пирамиды (см. рисунок).

Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники. Боковые грани - трапеции. - высота усеченной пирамиды, высота боковой грани - угол наклона бокового ребра к плоскости основания (любой), - угол наклона боковой грани к плоскости нижнего основания.
Правильная усеченная пирамида - это усеченная пирамида, которую достали из правильной пирамиды.
Ее боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Ее боковые грани равны рівнобічній трапеции и наклонены к плоскости нижнего основания под одним и тем же углом. Высоты боковых граней пирамиды называются апофемами .
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению половину суммы периметров оснований и апофеми.
, где P н и P в - периметры соответствующих оснований, l - апофема.
На рисунках изображены фигуры, которые бывает очень полезным рассмотреть при решении задач на срезанную пирамиду.
;
.

;


- прямоугольная трапеция.
- высота усеченной пирамиды.
- высота боковой грани.

В случае, когда усеченная пирамида правильная, отрезки OD и являются радиусами описанной окружности, а OF и - радиусами вписанной окружности для нижней и верхней основы соответственно.

Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же количеством сторон, а в каждой вершине многогранника совпадает одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
1. У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине совпадает по три ребра. Тетраэдр - треугольная пирамида, все ребра которой равны.
2. У куба все грани - квадраты; в каждой вершине совпадает по три ребра. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
3. У октаэдра грани - правильные треугольники. В каждой его вершине совпадает по четыре ребра.
4. В додекаедра грани - правильные п"ятикутники. В каждой его вершине совпадает по три ребра.
5. У икосаэдра грани - правильные треугольники. В каждой его вершине совпадает по пять ребер.
На рисунках приведены примеры правильных многогранников с названиями.

«Моё имя будет оболгано, мне припишут множество злодеяний. Мировой сионизм всеми силами будет стремиться уничтожить наш Союз, чтобы Россия никогда уже не смогла подняться. Острие борьбы будет направлено на отрыв окраин от России. С особой силой поднимет голову национализм. Появится много вождей-пигмеев, предателей внутри своих наций…»

«Сталин есть центр, сердце всего того, что лучами расходится от Москвы по всему миру».

Французский писатель А. Барбюс

65 лет назад, 5 марта 1953 года, ушел из жизни великий народный вождь Иосиф Сталин. Человек, который смог возродить русскую империю в виде Советского Союза, победившего во Второй мировой войне, создавший мощные вооруженные силы, ядерный щит нашей Родины, лучшую в мире науку и образование.

В «демократической России», созданной в 1991-1993 гг., его объявили маньяком и кровавым диктатором. Почему Сталина так ненавидят различные западники, либералы и местечковые националисты? Ответ прост. Сталин был настоящим народным вождём, который всю жизнь отдал на решение глобальных и национальных задач русской цивилизации и русского народа. Он заставил служить Родине не щадя себя правительство и коммунистическую партию. А после смерти не оставил ни богатств, ни счетов в заграничных банках, ни дворцов и вилл, ни ворованных миллиардов и золота. Его сокровищем стала советская сверхдержава.

Самое главное: Сталин показал магистральный путь будущей великой России (СССР) и всего человечества – общество «золотого века», общество социальной справедливости, служения и созидания. Общество, где господствует этика совести, а человек является созидателем, творцом, служит Родине и народу. Сталин показал альтернативный путь развития всего человечества. Хозяева западного проекта и цивилизации строят несправедливый мировой порядок – глобальную невольничью, рабовладельческую, кастовую цивилизацию, где есть кучка «хозяев жизни и денег», «избранных» которым позволено всё, и которые имеют доступ к подлинному знанию, самым передовым достижениям науки, техники, медицины.

А остальная масса людей погружена в мрак нищеты, не имеет доступа к нормальному образованию и здравоохранению, постоянно одурманивается различными наркотиками: табаком, алкоголем, более тяжелыми дурманами, пищевыми суррогатами, информационно-виртуальными иллюзиями и т. д. Их срок жизни сознательно сокращается, духовность, интеллект и физическое состояние подавляются, опускаются на уровень двуногих орудий, скота.

При этом западные «элиты» постоянно разрабатывают и претворяют в жизнь планы по сокращению человеческой «биомассы». Чтобы больше ресурсов осталось «избранным», чтобы можно было создать чистенькую планету, без двуногих «вирусов», убивающих Землю.

Это и вредная пища, и подсаживание людей на лекарства, с подавлением нормального иммунитета и отсутствием нормальных программ по физическому и духовному развитию людей. Это создание общества стресса, где люди вертятся как белки в колесе добывая ресурсы для «нормальной» жизни, но в реальности гробят психическое и физическое здоровье, подсаживаются на стимуляторы и дурманы, чтобы временно забыться. Это и общество потребления, которая губит как планету, её биосферу, так и самого человека, как часть общей живой системы. Человека превращают в животное-потребителя, полностью зависимое от «хозяев жизни». Это и система, направленная на разрушение воспроизводства человечества – пропаганда абортов, противозачаточных средств, идей бездетности, гомосексуальных «браков», различных извращений (извращенцы детей не рожают), виртуальный секс, на очереди секс-роботы и т. д.

При Сталине в СССР стали строить справедливое государство и общество, общество служения и созидания, общество с господством этики совести. Отсюда мощнейший духовный народный порыв, который позволил не только создать сверхдержаву, победить в самой страшной в истории человечества войне, но и ликвидировать все последствия жесточайшей мировой бойни, создать социалистический лагерь, что позволяло противостоять западному миру, опирающемуся на свои колонии и полуколонии. Народная поддержка позволила построить самостоятельное народное хозяйство, снабжавшее всем необходимым советских людей и даже поддерживать союзников, создать лучшие в мире вооруженные силы, исключив угрозу нового открытого масштабного нападения на СССР-Россию на несколько поколений (большая часть жителей России живет в мире только благодаря этому фундаменту), создать лучшие в мире науку, образование, систему, раскрывающую творческий, созидательный потенциал детей и молодежи и многое другое.

Простой народ при жизни Иосифа Виссарионовича его боготворил. О нём пели песни, ставили ему памятники, его имя присваивали городам и крупным предприятиям. Сталин и его правительство приняли разрушенную и разорённую Россию, которая прошла через катастрофу прежнего проекта развития в 1917 году. Большевики (русские коммунисты), вопреки распространенному мнению, к этой катастрофе отношения практически не имели, они уже просто взяли власть в погибшей «старой России». Предложили народу новый проект – советскую цивилизацию, который был в интересах подавляющей части народа. Сумели создать советскую сверхдержаву – вернули большую часть утраченных в годы смуты земель, победили Японию и Германию, которым проиграла царская Россия. Советский Союз включил в свою сферу влияния половину планеты, включая Китай. За годы правления Сталина было перестроено народное хозяйство, ставшее более эффективным, чем у стран лидеров капиталистического мира, создали передовые отрасли промышленности, которые имели только самые передовые державы – самолетостроение, кораблестроение, машиностроение, станкостроение, химпром, ВПК, ракетостроение. Создали ядерное оружие и создали фундамент космической отрасли. Ликвидировали безработицу, образование и здравоохранение стали бесплатными и общедоступными. Дети из бедных крестьянских семей, которые не имели никаких шансов при капитализме, становились при социализме профессорами и маршалами, летчиками-асами и министрами.

Под руководством Сталина была выиграна Вторая мировая война, когда хозяева Запада позволили взять власть в Европе немецким нацистам во главе с Гитлером. Хозяева Запада испугались советского проекта. Россия становилась альтернативным центром нового справедливого мирового порядка. Симпатии значительной части человечества, лучших людей Земли были на стороне «солнечной» советской цивилизации. В результате, по сути, был создан «Евросоюз» во главе с Германией и вся его мощь – военно-техническая, демографическая и экономическая была брошена против советской цивилизации, которая бросила вызов господству Запада над планетой. Однако русская (советская) армия разгромила сильного и жестокого врага. Восточная и часть Центральной Европы, включая Восточную Германию, вошла в сферу влияния Москвы. Советский Союз разгромил милитаристскую Японию, взяв реванш за позор Русско-японской войны 1904-1905 гг. и восстановив своё влияние на Дальнем Востоке. С нашей помощью в Китае победили коммунисты и Поднебесная признала СССР «старшим братом».

Сталин не дрогнул перед атомной угрозой со стороны США, которые провели кровавое «испытание» ядерного оружия в Японии. Москва имела настолько мощные вооруженные силы, что США и Англия с союзниками не решились сразу же после завершения Второй мировой войны, начать «горячую» Третью мировую войну (хотя планы были). Вскоре Москва создала свою атомную бомбу и быстрыми темпами создала первоклассный ядерный арсенал. Запад начал «холодную» Третью мировую войну – информационно-идеологическую, экономическую, тайную войну спецслужб, войну на территории других стран (Корейская война и т. д.).

Поэтому наши враги на Западе и российские западники, предавшие СССР и идеалы социализма, социальной справедливости, и ненавидят Сталина. Они создали массу черных мифов, чтобы оболгать великого народного вождя. Однако правда находит дорогу даже в атмосфере тотальной лжи. Поэтому образ Сталина в настоящее время снова популярен в русском народе. В годы его правления у людей была вера в социальную справедливость, в будущее народа и страны. Был создан мощный хозяйственный, научно-технический, образовательный, культурный и военный фундамент, который позволил России дожить до настоящего дня.

Даже откровенный враг Союза и непримиримый антикоммунист, знаменитый британский премьер-министр У. Черчилль, выступая в палате общин 21 декабря 1959 года, в день 80-летия Сталина, признал его выдающуюся роль в мире: «Он был самой выдающейся личностью, импонирующей нашему изменчивому и жестокому времени того периода, в котором проходила его жизнь. Сталин был человеком необычайной энергии и несгибаемой силы воли, резким, жестоким, беспощадным в беседе, которому даже я, воспитанный здесь, в британском парламенте, не мог ничего противопоставить. Сталин прежде всего обладал большим чувством юмора и сарказма и способностью точно воспринимать мысли. Эта сила была настолько велика в Сталине, что он казался неповторимым среди руководителей всех времен и народов. Сталин произвел на нас величайшее впечатление. Он обладал глубокой, лишенной всякой паники, логически осмысленной мудростью. Он был непревзойдённым мастером находить в трудные моменты пути выход из самого безвыходного положения. Кроме того, Сталин в самые критические моменты, а также в моменты торжества был одинаково сдержан и никогда не поддавался иллюзиям».

Часть геометрии, изучаемую до сих пор, называется планиметрией - эта часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией .

Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками .

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями . При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости

Стороны граней называются рёбрами , а концы рёбер - вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми .

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник - октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани - правильные треугольники.

На рисунке - невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть по другую сторону этой плоскости.

Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямую называют перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

Призма

Теперь можем ввести определение призмы.

\(n\)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.

Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.

Стороны многоугольников называют рёбрами оснований .

Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.

Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.

Призмы бывают прямыми и наклонными .

Если основания прямой призмы - правильные многоугольники, то такую призму называют правильной .

У прямых призм все боковые грани - прямоугольники. Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.

Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.

На рисунке наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B 1 E .

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

На рисунке прямая треугольная призма. Все боковые грани - прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

На рисунке - правильная четырёхугольная призма. Основания призмы - квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Четырёхугольная призма, основания которой - параллелограммы, называется параллелепипедом .

Выше упомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом .

Если основания прямого параллелепипеда - прямоугольники, то этот параллелепипед - прямоугольный .

На рисунке - прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Например, AB , AD и A A 1 можно называть измерениями.

Так как треугольники ABC и AC C 1 - прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

A C 1 2 = AB 2 + AD 2 + A A 1 2

Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, то его называют диагональным сечением призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

На рисунке - правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разные диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

Основные формулы для расчётов в прямых призмах

1. Боковая поверхность S бок. = P осн. ⋅ H , где \(H\) - высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.

2. Полная поверхность S полн. = 2 ⋅ S осн. + S бок. . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

3. Объём V = S осн. ⋅ H . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

Пирамида

\(n\)-угольная пирамида - многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.

\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.

Треугольники - боковые грани пирамиды.

Общая вершина треугольников - вершина пирамиды.

Рёбра, выходящие из вершины - боковые ребра пирамиды.

Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.

Получил широкую известность благодаря участию в сериале "Большая любовь". Однако актера также можно увидеть в еще нескольких известных проектах, таких как сериал "Секретные материалы", "Место преступления: Майами".

Интересно, что такой миловидный актер не употребляет никаких продуктов животного происхождения. Он - абсолютный вегетарианец.

Ранние годы и путь к актерству

Маленький Дуглас родился в Канаде, в провинции Онтарио. Мальчик появился в семье учительницы и продюсера низкобюджетных фильмов. Симпатяга Дуглас обрадовал родителей своим появлением 22 июня 1985 года. У парня есть два брата и сестра: Грегори, Андре и Саманта Смит. Грегори, как и Дуглас, является актером.

Братья родились в семье продюсера, и наверняка это определило их судьбу. С 11 лет маленький, но целеустремленный актер Дуглас Смит вплотную занялся актерским мастерством. Кстати, у парня есть опыт игры на сцене, например в комедии Шекспира "Двенадцатая ночь" в роли Мальволио.

Первым фильмом, в котором принял участие Дуглас, стал "Смертельный вызов" (1996), где он исполнил крохотную роль.

Фильмы

Дуглас Смит получил свою первую роль в большом кино в киноленте "Взрыв из прошлого" (1999), где ему удалось поработать с такими известными актерами, как и Брендан Фрейзер. Далее молодой и амбициозный актер не уставал много работать и хватался за разные проекты. Так он снимался и в кино, и в телесериалах, которые принесли ему особую популярность.

Сериалы, с участием актера Дугласа Смита:

В кинопортфолио Смита входит также ряд фильмов. Где-то он играет маленькие эпизодические роли, а некоторые фильмы достаточно популярны и на слуху у многих киноманов:


Личная жизнь

Если человек талантлив, то он имеет как минимум еще один талант. Актер Дуглас Смит участвует в группе Alaskan Summer, где, кстати, также трудится и девушка актера - Эштон Лансфорд. Похоже, у ребят все серьезно, ведь не каждый выдержит партнера круглые сутки - дома и на работе.

Кстати, парень сам пишет песни и исполняет их в своей группе.