Как решаются неравенства с одной переменной. Конспект урока "решение неравенств с одной переменной"
Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.
Навигация по странице.
Что такое неравенства с переменными?
Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.
Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.
Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .
А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Романишина Дина Соломоновна, учитель математики гимназии №2 г. Хабаровска
1. Уравнения с одной переменной.
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.
Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение
.Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.
Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.
Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4)
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
16х-15х=88-40-12
Пример 2. Решить уравнения:
х3-2х2-98х+18=0;
Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.
3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2=
. .Разложить на множители левую часть уравнения:
х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.
с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.
Ответ: -3; - 4.
Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.
Напомним определение модуля числа:
Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.
Таким образом,
Аналогично
а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х=
, это число принадлежит множеству х£-1.b) Пусть -1 < х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
с) Рассмотрим случай х>1.
х+1+х-1=3, 2х=3, х=
. Это число принадлежит множеству х>1.Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.
Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».
х £-2, -(х+2)-3х=-2(х-1), - 4х=4, х=-2Î(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
х>1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)
Ответ: [-2; 0]
Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.
В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.
Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.
Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.
Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение
.Ответ: если а=1, то х – любое число;
если а=-1, то нет решений;
если а¹±1, то
.2. Системы уравнений с двумя переменными.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.
Пример 1. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение
во второе уравнение системы, получим
,
Ответ: (2; 3).
Пример 2. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.
Ответ: (2; 1).
Пример 3. Решить систему уравнений:
Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: (х; 5-2х), х–любое.
Пример 4. Решить систему уравнений:
Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.
Пример 5. Решить систему:
Из второго уравнения выражаем х=у+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем
. При а=-2 уравнение не а=-2 имеет решения, если а¹-2, то
.
Ответ: при a=-2система не имеет решения,
при а¹-2 система имеет решение
.
Пример 6. Решить систему уравнений:
Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.
2х-2у-2z=-12
3х-3у-3z=-18
наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z=-1, умноженное на 2, получим - 4z=-12, z=3. Итак получаем систему уравнений:
х+у+z=6z=3, которая равносильна данной.
Система такого вида называется треугольной.
Ответ: (1; 2; 3).
3. Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.
Покажем на примерах, как можно решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.
Пример 1. Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве щсодержалось 60% олова?
Решение. Пусть масса олова, добавленная к исходному сплаву, составляет х кг. Тогда сплав массой (32+х)кг будет содержать 60% олова и 40% меди. Исходный сплав содержал 55% олова и 45% меди, т.е. меди в нем было 32·0,45 кг. Так как масса меди в исходном и новом сплавах одна и та же, то получим уравнение 0,45·32=0,4(32+х).
Решив его, находим х=4, т.е. в сплав надо добавить 4 кг олова.
Пример 2. Задумано двузначное число, у которого цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Если это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Какое число задумано?
Решение. Пусть цифра единиц есть х, тогда цифра десятков равна х-2 (х>2), задуманное число имеет вид 10(х-2)+х=11х-20. Сумма цифр числа х-2+х=2х-2. Следовательно, разделив 11х-20 на 2х-2, получим в частном 4 и в остатке 6. Составляем уравнение: 11х-20=4(2х-2)+6, т.к. делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Решив это уравнение, получим х=6. Итак, было задумано число 46.
УРОК: «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Предмет:
Алгебра
Тема:
Решение неравенств с одной переменной
Цели урока:
Образовательные:
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению таких понятий как решение неравенств с одной переменной, равносильное неравенство, решить неравенство; проверить умение учащихся применять полученные знания и навыки на прошлых уроках для решения поставленных задач на данном уроке.
Воспитательные:
развивать интерес к математике путем использования в практике ИКТ; воспитывать познавательные потребности учащихся; формировать такие личные качества как ответственность, настойчивость в достижении цели, самостоятельность.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания (Актуализация опорных знаний)
1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1;8) и (5;10); б) (-4;4) и [-6;6]; в) (5;+∞) и [-∞;4]
Ответ: а) (1;5); б) (-4;4); в) пересечений нет
2. Запишите промежутки, изображенные на рисунке:
2) 
3) 
Ответ: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .
Пример3 , решим неравенство 3(х-1)<-4+3х.
Раскроем скобки в левой части неравенства: 3х-3<-4+3х.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 3х из правой части в левую, а слагаемое -3 из левой части в правую и приведем подобные члены: 3х-3х<-4+3,
Как видим, данное числовое неравенство не является верным ни при каких значениях х. Значит, наше неравенство с одной переменной не имеет решения.
Тренажер
Решите неравенство и отметьте его решение:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Ответ: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. Выводы
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. В остальных случаях он остается прежний.
V. Итоговое тестирование
1) Решением неравенства с одной переменной называется…
а) значение переменной, которое обращает его в верное неравенство;
б) значение переменной, которое обращает его в верное числовое
неравенство;
в) переменная, которая обращает его в верное числовое неравенство.
2) Какие из чисел являются решением неравенства 8+5у>21+6у:
а) 2 и 5 б) -1 и 8 в) -12 и 1 г) -15 и -30 ?
3) Укажите множество решений неравенства 4(х+1)>20:
а) (- ∞; 4); б) (4; +∞);
в) }